Ghelfi Claudio nº matricola 124331 Lezione del 23/10/2000 ore 16:30-18:30

 

MACCHINA DI RANKINE

 

Il problema di realizzare un ciclo termodinamico che produca la massima quantità di lavoro a parità di calore entrante, ha come soluzione ottimale la macchina di Carnot. Si tratta però di una macchina ideale, perché opera su un ciclo reversibile.

Nella pratica, la soluzione che in maniera più brillante approssima quella ottimale è la macchina di Rankine, questa applicazione, dal punto di vista ingegnerìstico, è la più importante della termodinamica e consiste nello studio e nel perfezionamento d’apparati per la conversione continua, anche se non completa, di calore in lavoro.

In queste macchine, atte a trasformare calore in lavoro meccanico, si utilizza come fluido intermediario l’acqua che viene alternativamente vaporizzata e condensata: si parla in tal caso di macchine a vapore però l’ acqua usata da questo tipo di cicli deve essere filtratata e a Ph controllato perciò assai costosa.

Il ciclo termodinamico sul quale è basato il funzionamento delle macchine a vapore, è il Ciclo Rankine (un esempio di tali macchine sono quelle usate nelle centrali termoelettriche e nucleari).

Una macchina di Rankine è tipicamente composta di quattro elementi (Fig. 1): una pompa, una caldaia, una turbina e un condensatore tutti questi componenti sono dei sistemi aperti,  insieme i quattro componenti costituiscono un sistema chiuso

Fig. 1

 

1®2: il fluido, che è nella fase liquida, subisce una compressione isoentropica (s è costante); ciò viene realizzato mediante una pompa, sistema aperto che non scambia calore:

 (lavoro speso per portare acqua in caldaia)

 

2®2’, 2’®3:  In caldaia l’acqua viene dapprima riscaldata fino alla temperatura di vaporizzazione, quindi vaporizzata a temperatura costante fino allo stato di vapore saturo secco (titolo unitario).

La caldaia utilizzata è un sistema aperto che non scambia lavoro.


 

3®4: il fluido, che ora è nella fase di vapore saturo secco, passa attraverso a una turbina, sistema aperto che non scambia calore, e, espandendosi in modo isoentropico (si rimane sotto la curva limite superiore), compie lavoro.

 

4®1: il fluido, nello fase di vapore saturo a bassa pressione, viene portato completamente nella fase liquida, a pressione e temperatura costanti; per fare ciò, si utilizza una serpentina, all’ interno del condensatore nella quale scorre acqua fredda, e perciò che cede la quantità di calore a un serbatoio freddo.

 

Per studiare il funzionamento di questo tipo si può ricorrere a 3 tipi di diagramma :

 

:
Fig. 2

 

I più usati sono naturalmente il diagramma pv ed il diagramma ts (il diagramma hs o diagramma di Mollier è di uso specialistico);  però mentre sappiamo che il diagramma pv è utile perché le aree sottese rappresentano il  lavoro  svolto dal ciclo (fig .3  ) vediamo ch  ts le aree sono date da:

cioè l’area rappresenta un calore e non più un lavoro, ed in particolare si ha che :

Fig. 3                                        Fig. 4                                        Fig. 5

 

dove in fig. 4 l’Area 2  rappresenta  il calore latente di vaporizzazione mentre l’ Area 1 sommata all’ Area 1 danno il calore entrato nel ciclo (q23).

In fig. 5 l’area evidenziata rappresenta il calore uscito dal ciclo (q41) per cui il l’ area del ciclo (che è data da q23 - q41 = l) corrisponde al lavoro effettuato come differenza tra calore assorbito e calore rilasciato dal ciclo.

 

Da questo si evince come sia  molto comodo il diagramma ts per vedere il coefficiente economico, infatti essendo :

Fig. 6

 

dove q1=q23 mentre q2=q41  per cui l’ area del ciclo è uguale a l=q23-q41 da cui ricordando che

  si evince come sia molto comodo il diagramma ts  che ci dà :

 

A questo punto  vediamo cosa succede dal punto di vista energetico nei 4 elementi che compongono il ciclo (nelle equazioni di bilancio energetico trascureremo lc ed  lp).

 

1 : (Pompa)   

 

2: (Caldaia)   da cui

 

3: (Turbina)

     (Qua insorge un problema perché x4 non è dato e per questo deve essere stimato)   

 

4: (Condensatore)

 

Per cui infine 

 

Confrontiamo il ciclo di Rankine e il ciclo di Carnot (che è il ciclo con il migliore coefficiente termodinamico ,inoltre perchè questo abbias enso i 2 cicli devono operare tra le stesse temperature estreme):

Fig. 7

 

il ciclo di Rankine presenta delle irreversibilità; ad esempio, il fatto che man mano che si prende calore dai fumi di combustione la loro temperatura diminuisca, è una causa di irreversibilità esterna; il fluido è comunque sempre in equilibrio termodinamico, per cui l’area del ciclo nel diagramma rappresenta la differenza tra il calore assorbito e il calore ceduto, cioè il lavoro prodotto, come per il ciclo di Carnot.

Guardando le figure, è lecito aspettarsi che il rendimento termodinamico
    (rapporto tra il coefficiente economico della macchina di Rankine e quello della macchina di Carnot) assuma un valore vicino all’unità.

 


Esempio  Numerico

Determinare il coefficiente economico e  per un ciclo di Rankine con

 

T1 = 40 °C         P1=7.38 kPa

T2 = 250,3 °C    P2=4000 kPa

 

Dalle considerazioni precedenti si ha che :

 

Dopodichè :

Mentre:   dove

 

Per cui:

 

Cioè :

 

Da cui otteniamo :

 

Che non sembra particolarmente alto per cui confrontiamolo con il ciclo di Carnot:

 

Quindi:         che sembra abbastanza buono.

 

 

MACCHINA DI RANKINE CON SURRISCALDATORE

 

Abbiamo visto che il vapore saturo secco in uscita dalla caldaia viene fatto espandere utilizzando una turbina; ma poiché nello stato 4 il titolo è molto minore di 1, ci sono gocce di liquido che entrano in violento contatto con le parti meccaniche della turbina e le erodono.

In genere si adotta la seguente soluzione:

 

Fig. 8

 

Il serpentino riscaldatore fa sì che il fluido in uscita dalla caldaia passi dalla fase di vapore saturo secco  in quella di vapore surriscaldato.

Fig. 9

 

E’ evidente che il valore del titolo nello stato 4’ è molto più vicino a 1.

 

Inoltre evidentemente ora abbiamo h3 e x4 che sono maggiori percil vediamo subito un :

 

Esempio Numerico

 Determinare il cefficiente economico per un ciclo di Rankine con surriscaldatore, date:

 

T1 = 40 °C

T3= 250,3 °C

T3 = 500 °C

Troviamo che :

           

Essendo:

 

Da cui :

 

Essendo :

Troviamo:

 

 

 

NOTA:

Per confrontare la macchina di Rankine con surriscaldatore e la macchina di Carnot, è sbagliato calcolare ht come rapporto tra i coefficienti economici  con

 

 

Si otterrebbe 0,635: cioè peggio rispetto al caso della macchina di Rankine senza surriscaldatore?

 

 

L’errore sta nel fatto che si sta trascurando completamente l’ effetto del II principio della termodinamica rispetto al quale la macchina di Rankine con Surriscaldatore è molto più efficace.

 

 

Bisogna guardare il diagramma che descrive l’andamento della temperatura del serbatoio caldo (fumi prodotti bruciando combustibile e aria) in funzione della quantità di calore da esso sottratta, e confrontare le due macchine in base alla quantità di calore che effettivamente riescono a sfruttare (exergia):

 

 

 

In rosso: diagramma T-q del serbatoio caldo, in nero: trasformazione 2®3 nel ciclo di    Rankine con surriscaldamento, in blu e celeste: due esempi di passaggi analoghi nel ciclo di Carnot

Fig. 10

 

 

 

 

Concludendo, solo con un’infinita successione di cicli di Carnot si riesce ad estrarre tutto il calore dai fumi:

 

Estrazione totale del calore per mezzo di infiniti cicli di carnot

Fig. 11

 

La macchina di carnot sarebbe ottima se il serbatoio caldo fosse a temperatura costante.

 

Tabelle

 

T

 (°C)

p

(BAR)

hl

(kJ/kg)

r

(kJ/kg)

sl

(kJ/kgK)

    0,01

0,006112

    0

2501,6

0

    4

0,008129

  16,8

2492,1

0,0611

    8

0,010720

  33,6

2482,6

0,1213

  12

0,014014

  50,4

2473,2

0,1805

  16

0,018168

  67,1

2463,8

0,2388

  20

0,023366

  83,9

2454,3

0,2963

  24

0,029821

100,6

2444,9

0,3530

  28

0,037782

117,3

2435,4

0,4088

  32

0,047534

134,0

2425,9

0,4640

  36

0,059400

150,7

2416,4

0,5184

  40

0,073750

167,5

2406,9

0,5721

  44

0,091001

184,2

2397,3

0,6252

  48

0,11162

200,9

2387,7

0,6776

  52

0,13613

217,6

2378,1

0,7293

  56

0,16511

234,4

2368,4

0,7804

  60

0,19920

251,1

2358,6

0,8310

  64

0,23912

267,8

2348,8

0,8809

  68

0,28563

284,6

2338,9

0,9303

  72

0,33958

301,4

2329,0

0,9792

  76

0,40191

318,1

2318,9

1,0275

  80

0,47360

334,9

2308,8

1,0753

  84

0,55573

351,7

2298,6

1,1225

  88

0,64948

368,5

2288,4

1,1693

  92

0,75608

385,4

2278,0

1,2156

  96

0,87686

402,2

2267,5

1,2615

100

1,01325

419,1

2256,9

1,3069

104

1,1668

435,9

2246,3

1,3518

108

1,3390

452,9

2235,4

1,3964

112

1,5316

469,8

2224,5

1,4405

116

1,7465

486,7

2213,4

1,4842

120

1,9854

503,7

2202,2

1,5276

                          TAB.1 – Vapore Saturo

 

 

T

(°C)

h

(kJ/kg)

s

(kJ/kgK)

250

2800,3

6,0685

300

2962,0

6,3642

350

3095,1

6,5870

400

3215,7

6,7733

450

3331,2

6,9388

500

3445,0

7,0909

550

3558,6

7,2333

600

3672,8

7,3680

650

3787,9

7,4961

700

3906,6

7,5947

                TAB.2 – Vapore surriscaldato

                               (p = 40 BAR, hl = 1087,4 kJ/kg)

 

 

 

T

(°C)

cp

(kJ/kgK)

300

3,136

350

2,891

400

2,742

450

2,648

500

2,579

550

2,533

600

2,500

650

2,475

700

2,458

TAB.3 – Calore specifico medio del vapore surriscaldato

               (p = 40 BAR, hl = 1087,4 kJ/kg)