Fluidodinamica

La fluidodinamica è la parte della meccanica che studia il moto dei corpi all’interno dei fluidi all’interno dei condotti. Se un liquido scorre dentro un tubo verrà definito soggetto ad un moto interno; se invece il liquido è ciò entro cui si muove un corpo lo definirò moto esterno. Pertanto si affronteranno due situazioni possibili:

• Situazione dei moti di fluidi con l’ipotesi di densità d = costante quindi fluido incomprimibile . Nell’ambito del moto interno si dovrà tenere conto anche la variazione di pressione fra p1 e p2 che si traduce in una perdita di carico.

• Situazione dei moti di corpi all’interno dei fluidi e quindi dovrò tenere conto della risultante fra tutte le forze agenti sul corpo per studiare i comportamenti del corpo in questione ( forza di trascinamento).

Nell’ambito della fluidodinamica si renderà anche necessaria ,visti i numerosi riferimenti, una sommaria definizione di fluido definito come una sostanza le cui molecole sono così poco aderenti che o possono scivolare liberamente le une sulle altre o si possono allontanare indefinitamente le une dalle altre . Sarà possibile suddividere i fluidi in :

AERIFORMI: aeriforme è lo stato nel quale la materia ,costituita da molecole, tende ad occupare tutto il volume a sua disposizione (esempi di questo stato sono: metano ,idrocarburi della serie paraffina, gas inerti )

LIQUIDI: le sostanze liquide hanno massa e volume propri ma assumono la forma del recipiente che le contengono

N.B. Le definizioni sopra riportate sono definizioni volte a sottolineare solo gli aspetti che verranno presi in considerazione nello studio di questo argomento.

E’ necessario pertanto introdurre una nuova grandezza quando si parla di moto di un fluido dentro un corpo .

Si darà una definizione di viscosità in un caso particolare e poi generalizzeremo la definizione derivandola dalla legge di Newton.

Per cui definirò la viscosità come l’insieme delle forze tangenziali fra superficie e fluido e fra stati di fluido diversi che si oppone al moto di questi fluidi rispetto alla superficie con velocità che chiamerò m (non costante).

Nel grafico (fig.1) noto che dato un fluido in moto relativo rispetto alla superficie solida se traccio una normale alla superficie stessa e, dopo un certo intervallo di tempo si osserva la situazione del moto stesso che rappresenta la velocità di un fluido in moto rispetto ad una superficie ferma .

La particella a contatto con la superficie solida non si è spostata per cui siamo nell’ipotesi di aderenza, infatti in tutti i fluidi le particelle a diretto contatto con i confini solidi non scorrono rispetto al confine stesso .

La legge di Newton relativa ai fluidi in moto su superfici solide lega le tensioni

Che si creano con il gradiente di velocità del fluido tramite la costante di viscosità :

  (1)

t sarà diretto in verso opposto rispetto a quello del moto ma lungo la direzione x sulla superficie normale ad y (in senso decrescente)e si misura in Pascal [Pa]

m sarà chiamata viscosità caratterizzante ogni fluido.Prima questa era considerata come un coefficiente di viscosità ma impropriamenteinfatti avrà come unità di misura Pascal*secondo [Pa*s]: tale viscosità si indicherà con il nome di viscosità dinamica.definiremo inoltre viscositá cinematica il rapporto:

  (2)

dove m = viscosità dinamica

r = densità del fluido

La viscosità non è costante ma varia con la temperatura : infatti aumentando la temperatura la viscosità diminuisce come si può osservare dalle seguenti tabelle :

 Misura viscosità nei fluidi:

Dato un cilindro cavo, al cui interno ad una temperatura T = costante è contenuto il liquido in esame, ed un secondo cilindro posto in rotazione intorno al suo asse da un momento motore ,che si misura in Newton*metro [N*m] , ad opera di un motorino elettrico. Tarando il cilindro interno con due tacche ,una per il livello 1 e l’altra per il livello 2 , dovrò misurare la differenza tra momento motore necessario a produrre la rotazione del cilindro interno quando il livello del liquido è in 1 e quando è in 2; la velocità di rotazione dovrà essere la medesima (fig.2).

Dalla differenza dei due momenti potrò risalire alla viscosità

Fig.2- viscosimetro a rotazione

Data la viscosità dei fluidi si può fare una certa classificazione :

• NEWTONIANI sono quei fluidi in cui la viscosità dipende solo dalla natura del fluido stesso o dal suo stato fisico e tali per cui valga la (1) ; esempi saranno acqua, benzina, idrocarburi leggeri)

Oltre a questi esistono altri fluidi per i quali la (1) non è una legge fisica in quanto il valore di m risulta legato ad altre grandezze caratteristiche dipendenti dalle particolari condizioni e precisamente dal valore dello sforzo tangenziale t (o al quadrato della velocità ) ed al tempo. Per questo in relazione allo sforzo potrò distinguere i fluidi non Newtoniani in:

• PSEUDOPLASTICI relativamente ai quali il valore di m cala al crescere del gradiente di velocità mescolandosi perdendo consistenza (gelatina , malte , fanghi) :quando aumenta la velocità le tensioni diminuiscono.

• DILATANTI relativamente ai quali le tensioni aumentano all’aumentare della velocità ed il valore di m cresce al crescere del gradiente di velocità (grassi, sabbia in sospensione).

Il valore dello sforzo tangenziale sarà connesso al fatto che il momento

  (3)

 Dove M = momento del motore che caratterizza la rotazione del cilindro immerso nel fluido

S = superficie laterale del cilindro

R = raggio del cilindro

Inoltre

  (4)

 dove u = velocita’ tangenziale data da wR

Fig.3 Grafico della viscosità dei fluidi

I fluidi di Bingham inizialmente si comportano come solidi e solo in seguito si comportano come liquidi. Infatti per un certo periodo di tempo mantengono le caratteristiche di solidi (forma definita e volume) e poi improvvisamente manifestano le loro caratteristiche di fluidi. Tale cambiamento avviene in seguito all’azione di forze esterne agenti sulla sostanza (inizialmente di natura solida ) e appunto dopo una certo limite perdono la loro forma .

OBIETTIVO: studiare l’andamento di un liquido in un condotto al variare della sua velocità media w e definire il moto

SVOLGIMENTO: dato un contenitore pieno di acqua con un apertura sulla parete alla quale è connesso un tubo trasparente lungo 200 diametri . Il liquido scorrerà nel condotto . Per consentire una migliore osservazione verrà iniettato del liquido colorante nei pressi del condotto . La velocità sarà misurata considerando il tempo impiegato dal liquido a portarsi nel recipiente graduato facendo variare l’altezza dell’acqua e la posizione del tubo cambia la velocità (fig 4).

Da questo esperimento è stato possibile osservare che il moto di un fluido potrà essere :

• LAMINARE : a bassa velocità il liquido colorato si mantiene distinto dal fluido principale scorrendo laminarmente fino all’uscita del circuito (senza mescolarsi con esso).

• TURBOLENTO : se si aumenta la velocità w , il liquido colorato non si mantiene più distinto e si mescola con il fluido principale . Tale comportamento ,durante la sua esplicazione, è molto caotico e non studiabile matematicamente poiché imprevedibile ma è osservabile dal momento in cui si comincia.

Un numero ,detto numero di Reynolds , definisce ,attraverso determinati valori , quando un fluido è soggetto a moto turbolento essendo :

  (5)

Dove w = velocità fluido

D = diametro del tubo

r = densità del fluido

m = viscosità

Infatti un fluido secondo Reynolds diverrà turbolento per valori di Re > 4000 mentre il moto laminare si avrà per valori di Re < 2100 . Questo ovviamente è utile per prevenire il fenomeno infatti la turbolenza è sicuramente dannosa .

Importanti sono anche le forme delle condutture che possono causare turbolenze se sono presenti scabrezze o imperfezioni dei tubi . Assumendo il tubo come perfettamente cilindrico si nota anche che la velocità del fluido sarà più lenta in prossimità dei bordi e più veloce sull’asse del condotto .

I profili delle velocità lungo il tubo tendono a disporsi dapprima a tronco di cono e poi assumono un carattere parabolico vicino al regime turbolento .

Saranno importanti le dimensioni del tubo :la sua sezione dovrà essere pari circa ad 1\10 del numero di Reynolds che si vuole ottenere.

La rugosità del tubo può influenzare il moto di un fluido poiché può generare facili turbolenze .

(6)

dove e* = scabrezza relativa 1-dimensionale

e = valore medio della scabrezza

D = diametro del tubo

essendo poi :

  (7)

dove

x* = lunghezza relativa adimensionale

x = lunghezza media del tubo

D = diametro del tubo

La rugosità del tubo dipende da un numero adimensionale

  (8)

 da un punto di vista matematico tale numero sarà espresso da

  (9)

 dove Dp = variazione della pressione p1-p2

d = densità

 L = lunghezza del tubo

 D = diametro

 w = velocità fluido

Dovrò caratterizzare quei fattori che ,dipendenti dal sistema , nella pratica mutano le condizioni ideali in cui si è studiato il fenomeno per cui

  (10)

Bilancio forza ed espressione della parabola di Poiseville

OBIETTIVO:

In relazione a quanto detto in precedenza si vuole determinare l’effetto delle perdite di pressione sul moto di un fluido all’interno del tubo stesso.

ESECUZIONE

Supponiamo di considerare il moto di un fluido all’interno di un tubo di raggio R con velocità u. Per convenzione si studia tale situazione su un elemento di volume (del fluido) con le seguenti caratteristiche (fig. 6):

Fig.6 Grafico di forze agenti sull’elemento di volume del fluido

L = lunghezza dell’elemento di volume considerato

 r = raggio dell’elemento in questione

 t = tensione tangenziale che frena l’elemento di fluido in movimento

Considerando un’equazione che esprime l’equilibrio delle forze agenti sull’elemento di fluido potrò scrivere che :

  (11)

dove p1 ,p2 saranno pressioni agenti sul elemento di fluido

A sarà l’area della circonferenza di base dell’elemento di fluido in questione

 L = lunghezza elemento

 t = tensione tangenziale che frena l’elemento fluido in movimento

Ora calcolando:

  (12)

 potrò scrivere sostituendo:

  (13)

  (14)

  (15)

  (16)

  (17)

  (18)

Questa rappresenta il profilo di velocità del fluido nel tubo. Potrò affermare che:

  (19)

  (20)

  (21)

in definitiva:

(22)

 Uguagliando la (22) e la (10) ottengo che

  (23)

 per cui

  (24)

 inoltre considerando la (5) e sostituendola nella (24) otterrò che :

  (25)