Bertoletti Gianluca matr. 124303 - Lezione del 10/10/2000 16.30-18.30

Il potere calorifico di un combustibile è l’energia che il combustibile stesso libera durante il processo di combustione. Supponiamo di avere 1 kg di combustibile che brucia consumando, allora a seconda del rapporto stechiometrico di combustione dell’idrocarburo si consumeranno n kg di aria:

ad esempio,

(1) C + O_{2 à} CO₂ 1 kg di carbone brucia con 1kg di aria

(2) CH4 + 2O₂ à CO₂ + 2H₂O 1 kg di metano brucia con 2 kg di aria

Quindi a seconda del combustibile che brucia si ha la produzione (per la legge di conservazione della massa) di n+1 kg di fumi ad una temperature iniziale che sarà uguale alla temperature di combustione adiabatica (ossia la temperatura massima che il combustibile può raggiungere.

Se a questo punto utilizzo i gas ed i fumi emessi nel processo di combustione, ad esempio per scaldare una cisterna piena di acqua, vuol dire che toglierò ai fumi una certa quantità di calore D Q. In questo modo però i fumi si raffreddano e quindi anche il loro potere calorifico diminuisce, ed in particolare in maniera non lineare con l’aumentare della quantità di calore sottratta.

Infatti, come si vede dal grafico seguente, la temperatura dei fumi diminuisce linearmente per un primo tratto, fino alla temperatura di rugiada, ossia il punto in cui il vapor acqueo presente dei fumi di combustione comincia a condensarsi liberando calore latente di vaporizzazione, quindi la temperatura smette di decresce linearmente ma si adagia più lentamente ed in maniera non lineare alla linea della temperatura ambiente

.

Dal grafico si vede chiaramente che la quantità di calore (energia) rilasciata dai fumi non è costante, quindi neanche il Potere Calorifico del combustibile sarà costante.

Per semplicità, dunque, si definiscono due punti sul grafico:

• Potere Calorifico inferiore (Pci) corrispondente ad una temperatura alla quale il fumo contiene poco vapor acqueo condensato
• Potere Calorifico superiore (PCs) che corrisponde ad una completa condensazione del vapore.

Poiché entrambi i punti sono al di sotto della temperatura di rugiada, allora la distanza tra i due dipende dal tipo di combustibile utilizzato, infatti se brucio del carbone, dalla (1) ho una quantità nulla di vapore acqueo prodotto, quindi i due punti saranno molto vicini.

Se brucio del metano, invece, dalla (2) ho una produzione di due parti di acqua per ogni parte di anidride carbonica, quindi essendoci una grande quantità di vapore acqueo nei fumi, i due punti saranno molto distanti tra loro.

Dal punto di vista industriale, l’utilizzo dei fumi ad una temperatura superiore a quella di rugiada può essere vitale, in quanto spesso si preferisce non utilizzare tutta l’energia messa a disposizione dal fumo (PCs) ed evitare la condensa del vapore che si depositerebbe, insieme ad agenti corrosivi, sulle apparecchiature, danneggiandole.

Le norme UNI 10389 fissano per convenzione i poteri calorifici di alcuni combustibili come da tabella 2:

Gas Naturale	8250 Kcal/m3 ( m3 a press. atm a 15°C)
Gas di petrolio liquefatti GPL	27000 Kcal/m3 ( m3 a press. atm a 15°C)
Gasolio	10210 Kcal/kg
Olio Combustibile	9870 Kcal/kg

Soluzione

Gli attriti prodotti dalla rotaia e dalla resistenza dell’aria possono essere visti all’interno del coefficiente di rendimento termico.

Cominciamo col trasferire tutti i dati nel SI:

1 BTU (British Termal Unit) = 1.055 KJ

1 lb = 0.4536 kg

quindi 1 BTU/lb = 1.055/0.4536 = 2.33 KJ/kg

ossia:

(1)

Quindi la potenza sviluppata dalla caldaia, tenendo conto che in un’ora sono bruciati 1000 kg di carbone, è:

(2)

Se consideriamo la caldaia come una macchina di Carnot che lavora tra le temperature T_interna=100°C e T_esterna=20°C possiamo calcolare il coefficiente economico di questa macchina di Carnot:

(3)

(4)

dove nella (4) si è calcolato il rendimento reale della caldaia. Come si vede questo è un rendimento molto basso.

Quindi la potenza effetivamente utilizzata dalla locomotiva per spostarsi è data dal prodotto:

(5)

Il lavoro utile che la caldaia compie è quindi L=489 * 3600s=1760400 KJ ed eguagliando questo lavoro con quello fatto dalla forza di gravità per riportare la locomotiva al livello del mare, che sappiamo essere:

(6)

Quindi la locomotiva si è alzata di 1790m sul livello del mare e dalla trigonometria si ottiene subito:

(7)

Una interessante categoria di problemi è quella in cui bisogna calcolare la quantità massima di lavoro prodotta da una macchina, o al contrario, calcolare la quantità minima di lavoro utilizzato.

Infatti è indispensabile nella:

• Progettazione di motori termici, creare macchine che sviluppino la più alta quantità di lavoro possibile a parità di risorse utilizzate
• Progettazione di macchine frigorifere, creare apparecchi che a parità di refrigerazione assorbano una minima quantità di energia (elettrica, lavoro meccanico, ecc..)

Cominciamo col calcolare il coefficiente termico della rispettiva macchina di Carnot:

(1)

In questo risultato bisogna stare attenti troncare le ultime quattro cifre, poiché sono proprio essere a rappresentare la parte significativa del numero.

Dalla forma analitica del 1° Principio sappiamo che, conservandosi l’energia, allora:

(2)

Nella (2) ci rendiamo conto dell’importanza che avevano le ultime 4 cifre del coefficiente economico, infatti essendoci la differenza di due numeri molto vicini quelle cifre sono significative.

Dalla (2) si può quindi calcolare il lavoro minimo necessario per estrarre 1 KJ di calore dalla cella frigorifera:

(3)

Tenendo conto del valore assoluto dell’energia assorbita e del fatto che l’energia stessa viene pagata 150 lire/KWh, possiamo calcolare il costo, essendo:

(4)

Quindi il costo è:

(5)

Nel caso in questione molta importanza ha anche il rivestimento della cella frigorifera in quanto le spese per mantenere la temperatura costante dipendono direttamente dal tempo che ci mette il calore sottratto ad attraversare le pareti della cella. Infatti se la spesa di 12208 lire all’ora è sostenibile, diversamente sarebbe se il calore immediatamente riconfluisse nella cella, procurando così una spesa di 12208 al secondo o anche di più.

Poiché questo esercizio è stato risolto utilizzando il coefficiente termico di una macchina di Carnot operante tra le temperature T₁ e T₂, ossia quella con il coefficiente economico massimo, il lavoro sfruttato dalla macchina è effettivamente il minimo possibile, quindi in condizioni reali si potranno avere solamente macchine che utilizzino un lavoro maggiore od uguale, mai minore.

Esercizio 2

Nel grafico qui sopra si può vedere come vari la temperatura dell’acqua in funzione della quantità di calore sottratto, secondo la relazione

(1)

Quindi la quantità di calore che l’acqua cede alla macchina, portandosi a temperatura T₀=20°C è:

(2)

A questo punto potremmo considerare la macchina come di Carnot, calcolarne il coefficiente economico e poi calcolare il lavoro compiuto, ma sarebbe errato perché in questo

caso il coefficiente economico della macchina (e quindi anche il suo rendimento) cala in maniera non lineare. Un ragionamento del genere porterebbe a trovare:

(3)

dobbiamo quindi calcolare il coefficiente e _c tenendo conto del fatto che la temperatura dell’acqua varia continuamente, ossia dobbiamo calcolare e in funzione di T, per T che va da T_in a T₀:

(4)

Nella (4) abbiamo quindi espresso e _c "localmente", quindi possiamo calcolare anche l’espressione "locale" del lavoro in funzione del calore:

(5)

dove si è usata la derivata della (1) e la (4). Integrando membro a membro la (5) si ottiene:

(6)

e ponendo nella (6) gli estremi di integrazione dai dati del problema (T_in=100°C, T₀=20°C) si ha il risultato:

(7)

Quindi utilizzando una macchina del genere abbiamo recuperato un’energia di 38805 KJ = 10.779 KWh @ 10 KWh, ma conviene costruire un impianto del genere?

Evidentemente no perché spendendo molto denaro recupererei solo l’equivalente somma di 150 * 10 KWh = 1500 lire!!

Un altro modo per risolvere il problema è applicare il principio di non diminuzione dell’Entropia dell’Universo. Sappiamo dalla teoria, infatti, che per un sistema isolato (Universo = Sistema + Ambiente) la variazione di entropia D S³ 0.

Poiché voglio calcolare la quantità massima di lavoro ottenibile da una simile macchina, devo imporre che D S_u=0 (ossia non ho produzione entropica e quindi non ho perdite di lavoro).

Applicato al sistema in esame, si ha:

(8)

dove sappiamo che D S_macchina=0 in quanto è una macchina reversibile, e

(9)

(10)

poiché l’acqua contenuta nel bidone si raffredda e si ha quindi una diminuzione dell’entropia del bidone, mentre ovviamente l’ambiente riceve il calore Q₂ e quindi si riscalda, aumentando di entropia. Ponendo la (9) e la (10) nella (8) si ottiene:

(11)

risultato perfettamente analogo alla (6).

Supponiamo di voler riscaldare una casa: mantenere la temperatura interna costante ad esempio a 20°C mentre quella esterna è più bassa (circa -5°C in Pianura Padana) implica il consumo di una certa quantità di energia. Lo studio di diverse soluzioni tecniche serve per trovare il metodo di riscaldamento più efficiente a parità di risultato, ossia il metodo che a parità di temperatura interna sia:

• più rapido
• più ecologico
• più economico (consumi meno energia)

Supponendo inoltre che il calore disperso dalle pareti dell’abitazione nell’unità di tempo sia 1 KWh, allora per mantenere costante la temperatura della casa bisogna fornirle un potenza costante di 1 KWh.

Questa potenza può essere fornita in almeno due modi:

In questo modo la corrente circolante sulla resistenza interna alla casa disperde, per effetto Joule, una potenza pari a:

(1)

che vuol dire che tutta la potenza ceduta alla casa sotto forma di calore per unità di tempo viene fornita dalla corrente, che ovviamente viene pagata. Anche se questo metodo ha un coefficiente economico unitario (se si trascurano le perdite sui conduttori), non è efficiente in quanto non è adoperabile per grandi ambienti né è economicamente vantaggioso, in quanto tutta la potenza viene pagata.

Se ad esempio supponiamo di tenere acceso il riscaldamento per 10 ore di seguito, consumeremmo un’energia di 10 KWh, che corrisponde a 1500 lire, che moltiplicate per 30 giorni sarebbero 45000 lire di corrente utilizzata solamente per il riscaldamento.

Quindi questa è una soluzione molto poco conveniente, a parte gli ovvi inconvenienti di avere un impianto totalmente dipendente dall’erogazione di corrente elettrica.

E’ un metodo di riscaldamento molto più efficiente sia del precedente sia di tutti i metodi a combustibile, che sta lentamente prendendo piede in Italia.

Lo schema di funzionamento qui a lato è molto semplice: la pompa di calore è una macchina che richiedendo dall’esterno una potenza L’, permette di trasferire all’interno dell’abitazione la stessa potenza Q₁’=1 KW sottraendo al tempo stesso all’ambiente una quantità di calore Q₂ corrispondente alla potenza Q₂’, secondo la relazione:

(2)

Paragonando la (2) con la (1) ci si rende subito conto del fatto che nel secondo caso il calore Q₁ è composto da due termini, un calore Q₂ (sottratto all’ambiente) ed un lavoro L (assorbito dalla macchina durante il suo funzionamento).

Ovviamente tanto maggiore è il calore Q₂ tanto minore sarà il lavoro L, tanto maggiore sarà dunque il risparmio che otterremo utilizzando tale macchina.

Prima di installare un apparecchio del genere (ancora molto costoso) sono d’obbligo alcune domande:

• è conveniente acquistarla, ossia il risparmio riuscirà a coprire il costo in tempo utile (minore della vita media dell’apparecchio)?
• quale impatto ambientale ha la macchina?

Il secondo quesito è di facile risposta: sottraendo calore all’ambiente (già fin troppo surriscaldato) non facciamo altro che un favore alla natura, quindi l’impatto ambientale è positivo sia in termini di consumo che di surriscaldamento.

Una pompa di calore è ottimizzata per funzionare con una temperatura esterna fino a 3°C, per temperature inferiori il rendimento della macchina diminuisce.

In zone molto fredde potrà comunque essere sempre integrata con caldaie o resistenze. Come si vede dalla cartina qui sotto, il territorio italiano è per legge diviso in tre grandi aree climatiche alle quali è assegnata una temperatura standard (-5°C per la Pianura Padana), e di conseguenza sono anche fissate le modalità di riscaldamento.

Dal punto di vista teorico, il massimo coefficiente economico di una macchina operante tra le temperature -5°C e 20°C è dato dal coefficiente delle rispettiva macchina di Carnot:

(3)

che è un coefficiente enorme, in quanto mi permette di affermare che utilizzando una macchina del genere, potrei consumare fino a 11.7 volte di meno rispetto al riscaldamento con resistenza elettrica a coefficiente unitario (a parità di risultato).

In realtà non è possibile arrivare fino a quel punto ma si riescono a fabbricare pompe di calore che consumano fino ad 1/5 dell’energia consumata dalle resistenze.

Come già detto il costo di simili apparecchiature è ancora molto elevato (intorno ai 20 milioni), anche perché essendo macchine funzionanti ad energia elettrica, la loro diffusione è disincentivata dalle alte tariffe elettriche.

Comunque nelle situazioni in cui possono essere applicate, queste macchine si dimostrano la soluzione vincente in quanto hanno una numerosa serie di vantaggi che ripagano ampiamente il costo:

1. rispetto dell’ambiente, in quanto le emissioni sono nulle
2. risparmio energetico che dipende direttamente dall’efficienza della macchina
3. può funzionare anche da climatizzatore nel periodo estivo
4. si risparmia su tutti quegli elementi collegati all’impianto di riscaldamento: camini, bollitori, tubature, caldaie

Un’ulteriore applicazione della pompa di calore è in combinazione con una macchina termica ciclica, come si vede dalla figura qui sopra.

In questa soluzione, vantaggiosa per le industrie che possiedono macchine termiche o caldaie, posso alimentare la pompa di calore direttamente con la corrente prodotta dalla macchina, è quindi avere un impianto completamente autosufficiente.

Una soluzione del genere è conveniente, in casi particolari, anche ai privati che utilizzando la pompa, evitano i grossi sprechi di energia determinati dalla circolazione di acqua calda nelle tubature dei termosifoni.

Considerando che la macchina termica lavora tra 500°C e 60°C avrà un coefficiente economico pari a:

(4)

Quindi per produrre la potenza di 1/11.7 KW utilizzata in teoria dalla pompa di calore devo utilizzare un’energia pari a:

(5)

Riscaldo quindi la casa utilizzando solamente 1/6 dell’energia utilizzata dall’analogo impianto di riscaldamento che utilizza solamente resistenze elettriche.

In un impianto del genere si deve tenere conto dei costi aggiuntivi della macchina termica (acquisto, manutenzione, pulizia, combustibile)

Da quanto visto, dunque, l’utilizzo di una pompa di calore risulta, nelle situazioni in cui può essere applicata, la soluzione ottima sia dal punto di vista del risparmio energetico che della salvaguardia ambientale.

Un sistema molto efficiente di riscaldamento è il cosiddetto teleriscaldamento (applicato in Italia per la prima volta a Brescia), il quale consiste nella centralizzazione del bruciatore.

Invece di avere tanti bruciatori, uno per ogni abitazione o condominio, si ha un piccolo numero di centrali di produzione di energia elettrica ed acqua calda tramite l’utilizzo di macchine termiche.

Figura 3. Schema di un impianto di teleriscaldamento.

Come si vede dallo schema, una o più centrali elettriche producono acqua calda e corrente, così da fornire la prima alle abitazioni più vicine (le quali risparmiando completamente sull’acquisto di impianti di riscaldamento la pagano ad un prezzo più elevato), mentre fornisce corrente elettrica alle abitazioni la cui distanza è tale da rendere inefficiente il trasporto dell’acqua in tubature sotterranee. Queste ultime utilizzano la corrente per far funzionare delle pompe di calore.

I vantaggi di avere un’unica centrale di produzione di energia sono ovvi:

• si minimizzano gli sprechi, poiché un’unica centrale è più facilmente monitorabile rispetto a tanti piccoli bruciatori
• si minimiza anche l’emissione di agenti inquinanti in quanto applicare filtri ad una grossa centrale è meno dispendioso che applicare filtri ai tanti piccoli bruciatori.

Il teleriscaldamento è efficiente però solo a livello comunale, in quanto la sua applicazione a livello nazionale non sarebbe tecnicamente possibile. L’accensione di tutti gli impianti di riscaldamento quasi contemporaneamente d’inverno produrrebbe dei picchi di richiesta di energia elettrica a cui difficilmente potrebbero rispondere le centrali.

Dal punto di vista tecnico, per quantificare le prestazioni di un impianto di teleriscaldamento si utilizzano due parametri, il

il quale dice l’efficienza della centrale energetica, come rapporto tra l’energia prodotta e quella contenuta nel combustibile, ed il

relativo all’efficienza delle pompe di calore installate nelle abitazioni dell’area 2.

Supponiamo che il coefficiente economico della centrale sia e =0.5, andando a calcolare il CUP, tenendo conto delle perdite (che limitano l’efficienza della centrale all’ 85%), si ha:

(1)

dove il termine 0.85*0.5 rappresenta l’energia che arriva alle abitazioni dell’area 1 sotto forma di acqua calda, mentre il secondo addendo 0.5 rappresenta l’energia elettrica prodotta dalla centrale; il tutto consumando una quantità di combustibile pari ad 1 KJ.

Se però l’elettricità prodotta viene utilizzata dalle abitazione dell’area 2 per alimentare le pompe di calore (supposte con COP=3) si ha:

(2)

e quindi abbiamo un CUC totale uguale a 1.925, ossia abbiamo quasi dimezzato il consumo di combustibile rispetto al consumo che attualmente si ha con i tradizionali impianti di riscaldamento.